KV-Diagramm / KV-Tafel

Der Physiker und Informatiker Edward Veitch entwickelte eine Methode um Disjunktive Schaltungen in vereinfachter Form darstellen zu können. Maurice Karnaugh entwickelte das KV-Diagramm weiter zu der Form, wie sie heute verwendet wird.
Die Größe einer KV-Tafel richtet sich nach der Anzahl der möglichen Vollkonjunktionen. Bei zwei Eingängen wären dies 2² (4 Möglichkeiten) bei drei Eingängen 2³ (8 Möglichkeiten). Der Aufbau des KV-Digramms sieht wie folgt aus:

Als erstes schauen wir uns einmal das KV-Diagramm mit zwei Eingängen an. Oben links ist der Ausgang x. Oben haben wir die Zustände A und A. An der Seite befinden sich die Zustände von Eingang B. B und B
Jetzt bei der zweiten Tafel, haben wir schon die Zustände unserer Schaltung eingetragen. Zunächst schauen wir uns die Normalform an, die können wir ablesen.
x = (A ∧ B) ∨ (AB).
Aber wir hätten gerne die kürzeste Form der Gleichung, damit bei der Umsetzung später möglichst wenige Bauelemente verwendet werden.
Hier sieht man, dass ich die 1er zusammengefasst habe. Daraus resultiert nun folgende Gleichung: x = A
Wenn wir uns noch mal die erste gleichung anschauen, sehen wir, dass wir B und B herauskürzen konnten.

Bei vier Zuständen ist alles noch relativ harmlos, aber jetzt kommen wir zu den größeren KV-Diagrammen. Denn es gibt ein paar Besonderheiten, die man beachten muss, damit man keine falsche Gleichung abliest. Deswegen wird unser nächstes Diagramm aus drei Eingängen bestehen. Das heißt, 2³ = 8, also benötigen wir 8 Felder.

Dies ist nun unser 8er Diagramm. Unten habe ich nun einen weiteren Eingang (C) an die Tafel geschrieben. Um ein bessere Übersicht zu bekommen, habe ich die Bereich, die die einzelnen Zustände abdecken, rot markiert.
In dem Diagramm befinden sich nun vier Einsen, die wir zusammenfassen möchte, damit wir später wieder diese schöne kurze Gleichung heraus bekommen. Jetzt stellt sich aber das Problem, dass es eine Eins gibt, die abseits steht. Man könnte jetzt denken, einfach das ganze Diagramm zusammenfassen, aber das geht nicht. Eine weitere Möglichkeit zeigt sich im nächsten Bild. Einfach die drei Einsen zusammen nehmen und die einzelne Eins noch einmal.
Das geht leider nicht auf. Denn es gibt die Regel, es dürfen nur Päckchen zusammengefasst werden, die zum Beispiel 2, 4, 8, 16 Vollkonjunktionen beinhalten. Demzufolge ist 3, 5, 6, 7 keine zulässige Zusammenfassung.
Die bessere Lösung und auch richtige ist die, die man im nebenstehenden Bild sehen kann. Wir fassen die Zahlen zu 2er Päckchen zusammen. Schnell kann man eine Besonderheit entdecken. Das Päckchen, das lila umrandet ist, geht außen herum. Das hat den Grund, dass wir uns die KV-Tafel nicht als flache Tafel vorstellen dürfen. Es ist nämlich so, dass sich links und rechts auf der Rückseite treffen und sich verbinden, genau wie oben und unten.
x = (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ BC) ∨ (ABC)
x = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (BC)
Dies wäre die Kürzung, doch ist dies trotzdem nicht die kürzeste Form, denn eigentlich ist das blaue Päckchen obsolet, da es bereits mit in den anderen Päckchen drin steht. Deswegen ist die kürzeste Form:
x = ( A ∧ B) ∨ (BC)
 
Zum Schluss nur noch mal eine 16er KV-Tafel. Hier habe ich noch mal die Besonderheit eingezeichnet, wenn ein Päckchen über vier Ecken verbunden wird.
Da kommt die Gleichung:
x = (A ∧ B ∧ CD) ∨ (A ∧ B ∧ CD) ∨ (A ∧ BCD) ∨ (ABCD)
Gekürzt bekommen wir:
x = CD

Present Progressiv

In diesem Artikel wollen wir uns das Present Progressiv mal ein wenig genauer anschauen.
Das Present Progressiv bildet die Verlaufsform des Simple Present. In der deutschen Sprache gibt es für das Present Progressiv keine vergleichbare Zeitform.

Bildung des Present Progressiv

Das Present Progressiv wird gebildet mit einer Form von to be (am / is / are) und dem Infinitiv des Verbs und es wird ein ing angehängt.

to be Form (am / is / are) + 1. Verbform + ing

Verwendung

Das Present Progressiv wird verwendet, bei Handlungen und Geschehen/Ereignissen, die gegenwärtig (zum Zeitpunkt des Sprechens), vorübergehend oder zurzeit ablaufen. Weiter findet die Verlaufsform Anwendung bei Handlungen, die zukünftig sind, aber bereits feststehen.
Genauso wird die Zeitform verwendet, bei sich wiederholenden Ereignissen, die innerhalb eines begrenzten Zeitraums stattfinden.

Positive Form / Bejahung

Positiv
Person Englisch
1. Person Singular I am reading a book.
2. Person Singular You are reading a book.
3. Person Singular He is reading a book.
She is reading a book.
It is reading a book.
1. Person Plural We are reading a book.
2. Person Plural You are reading a book.
3. Person Plural They are reading a book.



Negative Form / Verneinung

Negativ
Person Englisch
1. Person Singular I am not reading a book.
2. Person Singular You are not reading a book.
3. Person Singular He ist not reading a book.
She is not reading a book.
It is not reading a book.
1. Person Plural We are not reading a book.
2. Person Plural You are not reading a book.
3. Person Plural They are not reading a book.



Frage Form / Fragesatz

Frage
Person Englisch
1. Person Singular Am I reading a book?
2. Person Singular Are you reading a book?
3. Person Singular Is he reading a book?
Is she reading a book?
Is it reading a book?
1. Person Plural Do we read a book?
2. Person Plural Are you reading a book?
3. Person Plural Are they reading a book?



Besonderheiten

Im Present Progressiv gibt es beim Anhängen der ing-Form einige Besonderheiten, die man kennen sollte.
• Verben mit einem Stummen e schneidet man das e ab und hängt dann die ing-Form an.
to give -> giving
to raise -> raising
• Verben in dem vor dem Konsonanten ein kurz betonter Vokal vorkommt, wird der Konsonant verdoppelt.
to sit -> sitting
to hit -> hitting
• das -ie am Ende eines Verbs wird zu einem -y
to lie -> lying

Signalwörter Present Progressiv

at the moment im Moment
just gerade
just now gerade jetzt
Look! Schau!
Listen! Hör mal zu!
next nächste
more and more mehr und mehr
now jetzt
right now gerade jetzt

Logikgatter / Grundglieder – Digitaltechnik

UND-Gatter
[Konjunktion]
Der Ausgang x ist nur dann 1, wenn Eingang a und b 1 sind, also wahr. Sonst liegt am Ausgang x immer eine 0 an.
x = a ∧ b
x = a und b
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
0
0
0
1
ODER-Gatter
[Disjunktion]
Um am Ausgang x den Zustand wahr zu bekommen, muss entweder einer der beiden Eingänge a oder b wahr sein oder auch beide Eingänge können wahr sein.
x = a ∨ b
x = a oder b
 
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
0
1
1
1
NICHT-Gatter
[Negation]
Bei dem NICHT-Gatter ist der Ausgang negiert. Das heißt, wenn man am Eingang a eine 1 anlegt, kommt am Ausgang x 0 heraus. Liegt eine 0 am Eingang an, kommt am Ausgang eine 1.
x = a
x = a nicht
 
Wertetabelle
a
0
1
-
-
x
1
0
-
-
NAND-Gatter
(Nicht-Und)
Bei dem NAND-Gatter ist der Ausgang x dann wahr, wenn a und b nicht wahr sind. Das NAND ist ein negiertes UND.
x = a ∧ b
x = a und b nicht
 
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
1
1
1
0
NOR-Gatter
(Nicht-Oder)
Der Ausgang x ist nur dann wahr, wenn Eingang a und b falsch sind, also eine 0 anliegt.
x = a ∨ b
x = a oder b nicht
 
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
1
0
0
0
XOR-Gatter
[Antivalenz](Exklusiv-Oder)
Bei dem Exklusiv-Oder wird der Zustand am Ausgang x dann wahr sein, wenn entweder a wahr ist oder b wahr ist, aber nicht wenn beide wahr sind oder keiner.
x = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b)
 
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
0
1
1
0
XNOR-Gatter
[Äquivalenz](Exklusiv-NOR)
Das Gegenstück zum XOR ist das XNOR. Ausgang x ist wahr, wenn beide Eingänge wahr oder falsch sind. Ist nur Eingang wahr ist der Ausgang falsch, also 0.
x = (a ∧ b) ∨ (ab)
 
Wertetabelle
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
x
1
0
0
1
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