Mit PQ-Formel Quadratische Gleichungen lösen

Dieser Artikel handelt von der PQ-Formel, die für die Lösung von Quadratischen Gleichungen verwendet wird. Zunächst stellt sich die Frage, was überhaupt sind diese Quadratische Gleichungen? Um es kurz zu sagen, sind das Gleichungen in denen sich eine Unbekannte befindet, die im Quadrat ist. Das könnte zum Beispiel so aussehen:
7x² = 21 oder auch so 7x² + 3x = 21. Eine Form der Quadratischen Gleichung, die man häufiger antrifft, sieht so aus:
7x² + 5x + 3 = 21

Die Allgemeinform für die Gleichung sieht so aus:
ax² + bx + c = 0 // Allgemeinform
Um die PQ-Formel anwenden zu können, benötigen wir die Normalform, die wie folgt aussieht:
x² + px + q = 0 // Normalform
Um von der Allgemeinform zu kommen, muss a = 1 sein und für b verwenden wir p und für c wird q eingesetzt.
Für eine Gültige Gleichung muss a immer ungleich 0 sein, denn wir wissen ja, das eine Multiplikation oder Division mit 0 immer 0 ist. Dann würde nämlich der Teil ax² wegfallen und unsere Quadratische Gleichung wäre pfutsch.

Bevor wir ans Rechnen gehen möchte ich noch kurz ein paar Infos zu der Gleichung loswerden. Die Bezeichnung a, b, c werden auch Koeffizienten genannt.
Den Teil ax² nennt man Quadratisches Glied, bx nennt man lineares Glied und das c am Ende wird absolutes Glied genannt.

Unsere PQ-Formel, die wir verwenden wollen, wird so hingeschrieben und für die Variablen p und q setzen wir später die Werte ein.
 
x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}
 
Zuerst fangen wir ganz klein an und werden dann die Schwierigkeit steigern.
Unsere erste Gleichung sieht so aus:
2x² + 52x + 329 = 0
Damit wir mit der Gleichung nun in der PQ-Formel rechnen können, müssen wir aus dem 2x² ein x² machen, deswegen teilen wir es durch 2.
2x² + 52x + 329 = 0 | :2
x² + 26x + 164,5 = 0
Und schon haben wir die Werte für p und q.
p = 26, q = 164,5
Das setzen wir nun in unsere Formel ein

 
x_{1/2} = -\frac{26}{2}\pm \sqrt{(\frac{26}{2})^2-164,5}
 
x_{1} = -\frac{26}{2} - \sqrt{(\frac{26}{2})^2-164,5}
x_{1} = -13 - \sqrt{\frac{26^2}{4}-164,5}
x_{1} = -13 - \sqrt{169-164,5}
x_{1} = -13 - \sqrt{4,5}
x_{1} = -13 - 2,121320344
x_{1} = -15,12132034

 
Für x_{2} müssen wir nun auch die Lösung finden dafür ändern wir das Vorzeichen vor der Wurzel in ein Plus.
 
x_{2} = -\frac{26}{2} + \sqrt{(\frac{26}{2})^2-164,5}
x_{2} = -13 + \sqrt{\frac{26^2}{4}-164,5}
x_{2} = -13 + \sqrt{169-164,5}
x_{2} = -13 + \sqrt{4,5}
x_{2} = -13 + 2,121320344
x_{2} = -10,87867966

 
Das nächste Beispiel wird nicht in der Normalform daher kommen, also müssen wir die Gleichung erst in die Normalform bringen.
3x² + 61x + 256 = -21 | +21
3x² + 61x + 277 = 0 | :3
x² + 20,333 + 92,333 = 0
Nun können wir wie oben schon gezeigt p und q berechnen.
 
x_{1/2} = -\frac{20,333333}{2}\pm \sqrt{(\frac{20,333333}{2})^2-92,333333}
x_{1} = -\frac{20,333333}{2} - \sqrt{(\frac{20,333333}{2})^2-92,333333}
x_{1} = -10,1666665 - \sqrt{\frac{10,1666665^2}{4}-92,333333}
x_{1} = -10,1666665 - \sqrt{103,3611077-92,333333}
x_{1} = -10,1666665 - \sqrt{11,02777472}
x_{1} = -10,1666665 - 3,320809347
x_{1} = -13,48747585

 
Weiter gehts mit x_{2}
 
x_{2} = -\frac{20,333333}{2} + \sqrt{(\frac{20,333333}{2})^2-92,333333}
x_{2} = -10,1666665 + \sqrt{\frac{20,333333^2}{4}-92,333333}
x_{2} = -10,1666665 + \sqrt{103,3611077-92,333333}
x_{2} = -10,1666665 + \sqrt{11,02777472}
x_{2} = -10,1666665 + 3,320809347
x_{2} = -6,845857153

 
Ich hoffe mit dem Artikel über die PQ-Formel konnte ich dir helfen Quadratische Gleichungen zu verstehen.

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