KV-Diagramm / KV-Tafel

Der Physiker und Informatiker Edward Veitch entwickelte eine Methode um Disjunktive Schaltungen in vereinfachter Form darstellen zu können. Maurice Karnaugh entwickelte das KV-Diagramm weiter zu der Form, wie sie heute verwendet wird.
Die Größe einer KV-Tafel richtet sich nach der Anzahl der möglichen Vollkonjunktionen. Bei zwei Eingängen wären dies 2² (4 Möglichkeiten) bei drei Eingängen 2³ (8 Möglichkeiten). Der Aufbau des KV-Digramms sieht wie folgt aus:

Als erstes schauen wir uns einmal das KV-Diagramm mit zwei Eingängen an. Oben links ist der Ausgang x. Oben haben wir die Zustände A und A. An der Seite befinden sich die Zustände von Eingang B. B und B
Jetzt bei der zweiten Tafel, haben wir schon die Zustände unserer Schaltung eingetragen. Zunächst schauen wir uns die Normalform an, die können wir ablesen.
x = (A ∧ B) ∨ (AB).
Aber wir hätten gerne die kürzeste Form der Gleichung, damit bei der Umsetzung später möglichst wenige Bauelemente verwendet werden.
Hier sieht man, dass ich die 1er zusammengefasst habe. Daraus resultiert nun folgende Gleichung: x = A
Wenn wir uns noch mal die erste gleichung anschauen, sehen wir, dass wir B und B herauskürzen konnten.

Bei vier Zuständen ist alles noch relativ harmlos, aber jetzt kommen wir zu den größeren KV-Diagrammen. Denn es gibt ein paar Besonderheiten, die man beachten muss, damit man keine falsche Gleichung abliest. Deswegen wird unser nächstes Diagramm aus drei Eingängen bestehen. Das heißt, 2³ = 8, also benötigen wir 8 Felder.

Dies ist nun unser 8er Diagramm. Unten habe ich nun einen weiteren Eingang (C) an die Tafel geschrieben. Um ein bessere Übersicht zu bekommen, habe ich die Bereich, die die einzelnen Zustände abdecken, rot markiert.
In dem Diagramm befinden sich nun vier Einsen, die wir zusammenfassen möchte, damit wir später wieder diese schöne kurze Gleichung heraus bekommen. Jetzt stellt sich aber das Problem, dass es eine Eins gibt, die abseits steht. Man könnte jetzt denken, einfach das ganze Diagramm zusammenfassen, aber das geht nicht. Eine weitere Möglichkeit zeigt sich im nächsten Bild. Einfach die drei Einsen zusammen nehmen und die einzelne Eins noch einmal.
Das geht leider nicht auf. Denn es gibt die Regel, es dürfen nur Päckchen zusammengefasst werden, die zum Beispiel 2, 4, 8, 16 Vollkonjunktionen beinhalten. Demzufolge ist 3, 5, 6, 7 keine zulässige Zusammenfassung.
Die bessere Lösung und auch richtige ist die, die man im nebenstehenden Bild sehen kann. Wir fassen die Zahlen zu 2er Päckchen zusammen. Schnell kann man eine Besonderheit entdecken. Das Päckchen, das lila umrandet ist, geht außen herum. Das hat den Grund, dass wir uns die KV-Tafel nicht als flache Tafel vorstellen dürfen. Es ist nämlich so, dass sich links und rechts auf der Rückseite treffen und sich verbinden, genau wie oben und unten.
x = (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ BC) ∨ (ABC)
x = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (BC)
Dies wäre die Kürzung, doch ist dies trotzdem nicht die kürzeste Form, denn eigentlich ist das blaue Päckchen obsolet, da es bereits mit in den anderen Päckchen drin steht. Deswegen ist die kürzeste Form:
x = ( A ∧ B) ∨ (BC)
 
Zum Schluss nur noch mal eine 16er KV-Tafel. Hier habe ich noch mal die Besonderheit eingezeichnet, wenn ein Päckchen über vier Ecken verbunden wird.
Da kommt die Gleichung:
x = (A ∧ B ∧ CD) ∨ (A ∧ B ∧ CD) ∨ (A ∧ BCD) ∨ (ABCD)
Gekürzt bekommen wir:
x = CD
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